בנם של לבנה וספן. נולד ביום כ"ז באלול תש"י (9.9.1950) בתל אביב להורים שהגיעו לארץ אחרי שעברו בסלוניקי שביוון את השואה. ילד שלישי במשפחה, אח לדוד, שבתאי ורבקה.

אברהם גדל והתחנך בשכונת התקווה בתל אביב, ילד ביישן אך שובב. למד בבית הספר היסודי "התקווה" בעיר.

בעלי חיים היו אהובים עליו מאוד, והוא גידל יונים. חלום הילדות שלו היה לגור בקיבוץ.

בגיל שמונה-עשרה התגייס לצה"ל ושובץ בחיל ההנדסה הקרבית. בתום השירות הסדיר השתחרר, מאז המשיך לשרת במילואים בכל עת שנקרא.

עוד בנעוריו הכיר את יפה, אחות של חברו, שבביתם הרבה לבלות. השניים התאהבו, ובשנת 1969 נישאו. את ביתם קבעו בשכונת יד אליהו בתל אביב. לפרנסתם קנה חנות עופות בשכונת התקווה וניהל אותה.

באוקטובר 1973, עם פרוץ מלחמת יום הכיפורים, גויס לשירות מילואים. במהלך ימי הלחימה נפגע, ובעקבות פציעתו הוכר כנכה צה"ל.

לבני הזוג נולדו בן ובת – קובי וסימה. כְּאב מסור ואוהב הקפיד להיות מעורב בחינוך הילדים, למשל הלך לאספות הורים במסגרות החינוך. הודות לדמותו הדומיננטית נמשכו הילדים לפתח עימו שיחה, וכך גם חבריהם.

מאחר שאהב לבלות בחיק הטבע, אהב את הארץ ונטה לספונטניות, לעיתים בימי שישי הפתיע את רעייתו וילדיו והודיע להם, לשמחתם, שיוצאים לטייל. יחד טיילו ברחבי הארץ ולנו בשטח במחנאות. בתקופה שעבד כנהג משאית הזמין גם שכנים וחברים לטייל, ובלילה פרסו כולם מזרנים בתוך המשאית.

כשהילדים בגרו, קנו בני הזוג מסעדה בשכונת התקווה, וילדיהם עבדו בה עימם. הילדים סיפרו שלעיתים, כשלא קיבלו תשר גבוה (טיפ), הכניס אברהם מכיסו כסף לקופת הטיפים, בהיחבא.

כאוהד מושבע של קבוצת הכדורגל "בני יהודה" הקפיד לצפות בכל משחקיה במגרש. כן העריץ את שחקן הכדורגל הארגנטינאי דיאגו מרדונה.

נהנה במיוחד להאזין למוזיקה יוונית, אותה למד לאהוב מילדותו כבן לילידי סלוניקי, ולרקוד לצליליה בחברת מכרים. זאת נהג לעשות בעת שאירח. ביתו המה אורחים לעיתים תכופות, והוא נודע כמארח נפלא.

ניחן בנתינה, רוחב לב, אכפתיות, נכונות לעזור ודאגה לסובבים אותו. קרוביו סיפרו שהוא אהב את החיים.

אברהם זכה ליהנות משבעה נכדים ונכדות. כשנולדו, התרגש עד מאוד, ומשבגרו מעט הִרבה לבלות עימם ולשהות במחיצתם והוציא אותם אחר הצוהריים מהגן.

אברהם שמשי נפטר ביום ב' בתמוז תשס"ו (27.6.2006). בן חמישים ושש בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין ירקון בתל אביב. הותיר אישה, בן, בת, נכדים ואחות.

על מצבתו חקקו אוהביו: "נשמה תוהה שמצאה מנוחתה. זכרך בלבנו לעד".